В трапеции проведены диагонали. Площади двух треугольников, прилежащих к основанию равны 4 и 9 см^2. Найдите площадь трапеции.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2FARZit).

Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам, так как угол ВОС = АОД как вертикальные углы, угол ВСО – ОАД как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АД секущей АС.

Определим коэффициент подобия треугольников.

К = √Sвос / √Sаод = √4 / √9 = 2 /3.

Тогда СО / АО = 2 / 3.

Проведем перпендикуляр ВН к диагонали АС.

В треугольниках АВН и ВОС отрезок ВН есть их общая высота, тогда, по свойству треугольников с одинаковой высотой, отношение их площадей равно отношению их оснований.

Sвос / Sаов = ОС / АО = 2 /3.

Sаов = 3 * Sвос / 2 = 3 * 4 / 2 = 6 см².

Так как диагонали трапеции образуют при боковых сторонах равновеликие треугольники, то Sсод = Sаов = 6 см².

Тогда Sавсд = 6 + 6 + 4 + 9 = 25 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 25 см².