Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=x^2 x=7 y=0 вокруг оси ОХ

Чтобы вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями, нужно знать формулы вычисления объема.

Формулы вычисления объема тела

• Формула объема тела, ограниченного вращением тела вокруг оси Ох: V = П_а~^b f²(x)dx,
• где ~ это интеграл (вертикальная изогнутая линия);
• формула вычисления объема тела, ограниченного вращением тела вокруг оси Оу: V = П_а~^b f²(у)dу.

Рассмотрим плоскую фигуру

Решение начинается с чертежа плоской фигуры. У нас даны три функции y = x² , x = 7 и y = 0.

Функция y = x² - это парабола, вершина параболы лежит в начале координат, ветви вверх.

Функция х = 7 - это прямая, пересекает ось х в точке 7, расположена параллельно оси у.

Функция у = 0 - это прямая, расположена непосредственно на оси х (сливается с ней).

Выполняем чертеж, заштриховываем получившуюся плоскую фигуру, определяем границы интервала, у нас это 0 и 7 (фигура расположена между точками х = 0 и х = 7).

Вращение тела будет вокруг оси Ох, поэтому используем формулу V = П_а~^b f²(x)dx.

а = 0, в = 7, f(x) = х²

Подставляем данные в формулу и находим объем тела.

 V = П ₀~⁷ (х²)²dx = П ₀~⁷ х⁴ dx = П (х⁵/5) ₀|⁷ = П * (7⁵/5 - 0) = (16807/5) * П = 3361,4П ед³.

Ответ: объем тела равен 3361,4П ед³.

Объем тела образованного графиком функции f(x) можно найти, воспользовавшись формулой: V = π * ∫(f(x))^2 * dx| a;b для конкретной задачи получим:

V = π * ∫(x^2)^2 * dx|0; 7 = π * ∫x^4 * dx|0; 7 = π * 1/5 * x^5|0;7  = π * 1/5 * 7^5 = 10560.

Ответ: 10560.