Алла4 года назад
Вычислим площади фигур, ограниченных линиями:
a) y = -3 * x + 6, y = 0, x = -1, x = 2
Все линии представляют собой прямые.
у (-1) = -3 * (-1) + 6 = 9;
у (2) = -3 * 2 + 6 = 0.
Поскольку оба значения больше нуля, то площадь вычисляем следующим образом:
S = ∫ (от -1 до 2) (-3 * х + 6 - 0)dx = ∫ (от -1 до 2) (-3 * х + 6)dx = (-3 * x^2/2 + 6 * x) (от -1 до 2) = (-3 * 2 + 6 * 2) - (-3 * 1/2 - 6 * 1) = -6 + 12 + 3/2 + 6 = 12 + 3/2 = 13 1/2.
Ответ: 13 1/2.
b) y = 3 * x - 5, y = 0, x = 0, x = 3.
Все линии представляют собой прямые.
у (0) = 3 * 0 - 5 = -2;
у (3) = 3 * 3 - 5 = 4.
Поскольку первое значение отрицательное, а второе положительное, то площадь разобьем на 2 площади (при у < 0 и y > 0).
у = 0 при 3 * х - 5 = 0;
3 * х = 5;
х = 5/3.
Таким образом получаем, что площадь будет равна:
S = ∫ (от 0 до 5/3) (0 - (3 * x - 5))dx + ∫ (от 5/3 до 3) (3 * x - 5 - 0)dx = ∫ (от 0 до 5/3) (- 3 * x + 5)dx + ∫ (от 5/3 до 3) (3 * x - 5)dx = (-3 * x^2/2 + 5 * x) (от 0 до 5/3) + (3 * x^2/2 - 5 * x) (от 5/3 до 3) = (-3 * 25/9 * 1/2 + 5 * 5/3) - 0 + (3 * 9/2 - 5 * 3) - (3 * 25/9 * 1/2 - 5 * 5/3) = -75/18 + 25/3 + 27/2 - 15 - 75/18 + 25/3 = -150/18 + 50/3 + 27/2 - 15 = -150/18 + 300/18 + 243/18 - 270/18 = (-150 + 300 + 243 - 270)/18 = 123/18 = 6 15/18 = 6 5/6.
Ответ: 6 5/6.