Вычислите предел по правилу Лопиталя lim┬(x→0)⁡〖(x-arctgx)/x^3 〗

Применив правило Лопиталя получим:

lim (x - arctg(x)) / x^3 = lim (x + arctg(x))' / (x^3)' = lim (1 + 1 / (1 + x^2) / 2 * x^2) = lim (2 + x^2) / (1 + x^2) * x^2.

Разделив числитель и знаменатель на x^2, получаем:

lim(2/x^2 + 1) / (1 + x^2) = lim (2/x^2 + 1)' / (1 + x^2)' = lim (-6x^(-3)) / 2x = lim(-3 * x^(-4)) = 0.