Высота CD прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузы AB =9см отрезок AD=4см. Докажите что треугольник ABC подобен треугольнику АСD и найдите АС

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3K1A0iN).

Так как СД высота прямоугольного треугольника АВС, то треугольники АСД и ВСД так же прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках АВС и АСД угол А общий, тогда прямоугольные треугольники АВС и АСД подобны по острому углу, первому признаку подобия прямоугольных треугольников, что и требовалось доказать.

ВД = АВ – АД = 9 – 4 = 5 см.

СД высота проведенная к гипотенузе из вершины прямого угла, тогда СД^2 = АД * ВД = 4 * 5 = 20.

В прямоугольном треугольнике АСД, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы АС.

AC^2 = СД^2 + АД^2 = 20 + 16 = 36;

АС = 6 см.

Ответ: Длина катета АС = 6 см.