Высота CD прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузы AB, равной 9 см, отрезок AD, равный 4 см. Докажите, что ∆ABC ~ ∆ACD и найдите AC.

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3zj6h03).

Так как треугольник АВС прямоугольный, а СД его высота, проведенная на гипотенузу, то квадрат длины высоты СД равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу.

СД^2 = АД * ДВ = 4 * 9 = 36;

СД = 6 см.

В прямоугольном треугольнике АСД, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы АС.

AC^2 = АД^2 + СД^2 = 16 + 36 = 52;

AC = 2 * √13 см.

В прямоугольном треугольнике АВС SinАBC = АC / AB = 2 * √13 / 13.

В прямоугольном треугольнике AСД SinAСД = AД / AC = 4 / 2 * √13 = 2 * √13 / 13.

Так как синусы углов АВС и АСД равны, то и эти углы так же равны, а тогда прямоугольные треугольники АВС и АСД подобны по острому углу, что и требовалось доказать.

Ответ: Длина катета АС = 2 * √13 см.