Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Grh6mU).
Точка О, точка пересечения медиан треугольника АВС, есть центр описанной и вписанной окружности. Тогда R = АО = 2 * а см.
Так как точка О, по свойству медиан, делит ее в отношении 2 / 1, тогда ОН = АО / 2 = 2 * а / 2 = а см.
В прямоугольном треугольнике ДОН, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы ДН.
ДН2 = ОН2 + ДО2 = а2 + а2 * 3 = 4 * а2.
ДН = 2 * а см.
В прямоугольном треугольнике ДОН, длина гипотенузы ДН в два раза больше катета ОН, тогда угол ОДН = 300, а следовательно, угол ДНО = 300.
Высота треугольника АВС равна: АН = АО + ОН = 2 * а + а = 3 * а см.
АН = b * √3 / 2, где b – сторона равностороннего треугольника.
ВС = 2 * АН / √3 = 2 * 3 * а / √3 = 6 * а / √3 см = 2 * а * √3 см.
Площадь треугольника ВСД равна: Sвсд = ВС * ДН / 2 = 2 * а * √3 * 2 * а / 2 = 2 * а2 * √3 см2.
Тогда Sбок = 3 * Sвсд = 3 * 2 * √3 * а2 = 6 * √3 * а2 см2.
В прямоугольном треугольнике ДСН, определим величину гипотенузы СД.
СД2 = СН2 + ДН2 = 3 * а2 + 4 * а2 = 7 * а2.
СД = а * √7 см.
Тогда: Sвсд = СД * ВД * SinВДС / 2.
4 * а2 * √3 = 7 * а2 * SinВДС.
SinВДС = 4 * √3 / 7 = 0,98
Угол ВДС ≈ 790.
Ответ: Длина апофемы равна 2 * а см, угол равен 600, площадь боковой поверхности равна 6 * √3 * а2 см2, угол при вершине равен 790.