Пусть дан равносторонний треугольник АВС, высота которого ВК равна 9 см, тогда:
ВК = АС : 2, так как в равностороннем треугольнике совпадают медиана с высотой;
ВК = АВ : 2, так как в равностороннем треугольнике длины всех сторон одинаковые;
АВ² = АК² + ВК² – теорема Пифагора для прямоугольного треугольника АВК (угол К прямой);
(2 ∙ 9)/√3 = 18/√3 (см) – длина стороны АВ, так как АВ² = АК² + (АВ/2)² или АК² = 3 ∙ АВ²/4; АК = (АВ ∙ √3)/2; АВ = (2 ∙ АК)/√3.
((18/√3) ∙ √3)/6 = 3 (см) – длина радиуса r вписанной окружности, так как он определяется по формуле r = (а ∙ √3)/6;
2 · π · 3 = 6 · π (см) – длина окружности, вписанной в этот треугольник, так как она определяется по формуле L = 2 · π · r.
Ответ: длина окружности, вписанной в данный треугольник, равна D) 6 · π см.
