Y=(x-5)^2*e^x-7 Найдите точку максимума С решением

Для того чтобы найти точку максимума функции нужно определить её критические точки, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный.

Для этого найдем производную функции и приравнять ее к нулю.

Найдем производную функции, воспользовавшись формулой: (U * V)’ = U’ * V + U * V’.

y′ = 2(x – 5) * e^{x – 7} + (x – 5)² * e^{x – 7} 

Найдем нули производной решив уравнение y′ = 0.

2(x – 5) * e^{x – 7} + (x – 5)² * e^{x– 7} = 0, выносим e^{x– 7} за скобки.

 e^{x – 7} * (2x – 10 + x² – 10x + 25) = 0, приводим подобные члены.

 e^{x – 7} * (x² – 8x + 15) = 0.

Находим корни уравнение x² – 8x + 15 = 0; x₁ = 3 и x₂ = 5.

Отметим точки 3 и 5 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на промежутках, подставив любые значения аргумента из промежутков в найденную производную.  ___(+)____(3)__(-)____(5)__(+)____

В точке х = 3 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 3