Задача: кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно: на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево. Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть: а) в точку 6; б) в точку 7?

Допустим, что кузнечик делает х прыжков вправо и столько же влево. Тогда вправо кузнечик продвинется на 5 * х, а в обратном направлении - на 3 * х. Если при х, равном целому числу, разница между 5 * х и 3 * х будет равна 6, значит кузнечик может попасть в точку 6. 5 * х - 3 * х = 6, 2 * х = 6, х = 3, то есть после 3 прыжков вправо и 3 прыжков влево кузнечик попадет в точку 6. Теперь рассмотрим эту задачу для точки 7. 5 * х - 3 * х = 7, 2 * х = 7, х = 3,5 - то есть в точку 7 кузнечик при равном количестве прыжков вправо и влево не попадает. Допустим, что кузнечик сделал вправо х прыжков, а влево (х - 1) прыжков, получаем: 5 * х - 3 * (х - 1) = 7, 5 * х - 3 * х + 3 = 7, 2 * х = 4, х = 2 - то есть после 2 прыжков вправо и 1 прыжка влево кузнечик попадет в точку 7. Ответ: оба случая возможны.

В этой задаче вам необходимо определить, может ли кузнечик, совершая прыжки на пять единичных отрезков вправо и на три единичных отрезка влево, оказаться в точках 6 и 7.

Определим, каким математическим операциям равносильны прыжки кузнечика влево и вправо

После каждого прыжка местоположение кузнечика на числовом луче меняется.

Если кузнечик прыгает вправо, то он смещается на пять единичных отрезков вправо, то есть, чтобы определить его новое местоположение, нужно прибавить 5 к координате точки на числовом луче, обозначавшей его предыдущее местоположение.

Если же кузнечик прыгает влево, то он смещается на три единичных отрезка влево, то есть, чтобы определить его новое местоположение, нужно вычесть 3 из координаты точки на числовом луче, обозначавшей его предыдущее местоположение.

Определим, может ли кузнечик попасть из точки 0 в точку 6

Изначальное положение кузнечика 0.

Прибавив к 0 три раза 5 и вычтя три раза 3, мы получим число 6:

0 + 5 + 5 + 5 - 3 - 3 - 3 = 15 - 9 = 6.

Следовательно, кузнечик может окажется в точке 6, если он:

• начнет прыгать из точки 0;
• совершит три прыжка вправо;
• совершит три прыжка влево.

Определим, может ли кузнечик попасть из точки 0 в точку 7

Изначальное положение кузнечика 0.

Прибавив к 0 два раза 5 и вычтя 3, мы получим число 7:

0 + 5 + 5 - 3 = 10 - 3 = 7.

Следовательно, кузнечик может окажется в точке 7, если он:

• начнет прыгать из точки 0;
• совершит два прыжка вправо;
• совершит один прыжок влево.

Итак, мы показали, что кузнечик может оказаться в точках 6 и 7 за несколько прыжков.